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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{{\footnotesize  Introducción a ciencia de datos}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2023}}


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\lstset{language=R,
    basicstyle=\small\ttfamily,
    stringstyle=\color{DarkGreen},
    otherkeywords={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
    morekeywords={TRUE,FALSE},
    deletekeywords={data,frame,length,as,character},
    keywordstyle=\color{blue},
    commentstyle=\color{DarkGreen},
}

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%Command specific to the paper
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\funk}[5]{
\begin{displaymath}
#1:
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\end{displaymath}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$2}
\end{center}
La meta de esta tarea es explorar un otro clasificador : El clasificador por regresión logística. La regresión logística se trata de regresar una función de probabilidad de pertenencia condicional $p_i(x)=\prob{Y=i|X=x}$ de la forma
\[
p_i(x) \approx \sigma (a^T_{i}X+a_{i,0}),
\]
donde $\sigma$ es un mapeo continuo y creciente de $\R$ a $[0,1]$. En general se toma $\sigma(t)=1/(1+e^{-t})$.
\begin{enumerate}
  \item Suponiendo que tenemos acceso a las regresiones logísticas de los $p_i$, describir el clasificador óptimo $g$ basado en los $\hat{p}_i$.
  \item Mostrar que las fronteras entre las diferentes clases son sub-conjuntos de hiperplanos (Es un clasificador lineal).
  \item Usar el script siguiente para cargar los datos de iris.
  \begin{Rcode}
  \begin{lstlisting}
  from sklearn import datasets
  iris = datasets.load_iris()
  X = iris.data[:, :2]
  Y = iris.target
  \end{lstlisting}
  \end{Rcode}
  \item De la librería \texttt{sklearn}, usar las funciones \texttt{DecisionBoundaryDisplay} para visualizar las $R_i$ de la clasificación y \texttt{LogisticRegression} para definir el modelo de clasificador por regresión logística.
  \begin{Rcode}
  \begin{lstlisting}
  from sklearn.inspection import DecisionBoundaryDisplay
  from sklearn.linear_model import LogisticRegression
  \end{lstlisting}
  \end{Rcode}
  Producir un plot que permite visualizar las regiones $R_i$ del clasificador. Superponer los datos de entrenamiento.
  \item Cuantos datos están mal clasificados?
\end{enumerate}


\end{document}
