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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\fancyhead[L]{{\footnotesize  Introducción a ciencia de datos}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2023}}


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%Command specific to the paper
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\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\funk}[5]{
\begin{displaymath}
#1:
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\end{displaymath}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$3}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Sea $A=ab^T$ tal que $a,b$ son vectores $n$-dimensionales.
  \begin{enumerate}
    \item Dar una descomposición SVD de esa matriz en la forma $A=UDV^T$ y en la forma $A=\sum \lambda_i u_iv_i^T$. Se expresara los $\lambda_i$ en función de $a$ y $b$.
    \item En estas dos mismas formas dar la descomposición de la matriz $A^2-A$.
    \item Mostrar que cuando $\langle a,b\rangle=1$, $A$ es una matriz de proyección sobre un espacio que se describirá.
    \end{enumerate}
    \item Sea $A$ una matriz $n\times m$ de rango $r$. Consideramos su descomposición SVD, $A=UDV^T$ con
    \[
    D=\left(\begin{matrix}
      \Lambda & 0\\
      0& 0
    \end{matrix}\right)
    \]
    y $\Lambda$ una matriz diagonal de valores propios positivos. Definamos $A^{-}=VD^-U^T$ donde
    \[
    D^-=\left(\begin{matrix}
      \Lambda^{-1} & 0\\
      0& 0
    \end{matrix}\right).
    \]
    \begin{enumerate}
      \item Mostrar que $A^-$ es tal que $AA^-A=A$ y $A^-AA^-=A^-$ y que las matrices $AA^-$ y $A^-A$ son simétricas.
      \item Para un $b\in \R^m$, consideramos el problema de regresión lineal siguiente
      \[
      \underset{x\in \R^n}{\text{argmin}}\|Ax-b\|^2
      \]
      donde $\|\cdot\|$ es la norma euclidiana.
      Supongamos que no existe un $x\in \R^n$ tal que $Ax=b$. Mostrar que el problema se resuelve con la solución $x^*=A^-b$. (Pista: Usar la descomposición $x=x^*+h$ y descomponer $\|Ax-b\|^2$.)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
