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\usepackage{bbm} %package for the indicator
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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{{\footnotesize  Estad\'istica matem\'atica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2021}}


%Command specific to the paper
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\funk}[5]{
\begin{displaymath}
#1:
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\end{displaymath}}
\newcounter{saveenum}
\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$2}
\end{center}
Denotamos por \(\mathcal{C}_1\) el conjunto definido en gris en la imagen siguiente.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics{Cuadro.png}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{enumerate}
  \item Encontrar una función \(h\) y una constante \(c\) tal que \(\forall (x,y)\in \R^2\), \((x,y)\in \mathcal{C}_1 \Leftrightarrow h(x,y)\le c\).
  \item Sea \(U\) el vector aleatorio de distribución uniforme sobre \(\mathcal{C}_1\). Mostrar que \(U\) tiene una función de densidad \(f_U\) y dala explícitamente.
  \item Calcular las densidades de las marginales \(U_1\) y \(U_2\) de \(U\).
  \item Sea \(r\) la rotación de angulo \(\frac{\pi}{4}\). Dar la expresión de \(r(x,y)\) para cualquier elemento \((x,y)\in\R^2\).
  \item Denotamos \(V=r(U)\) la transformación de \(U\) bajo \(r\). Calcular las densidades de las marginales \(V_1,V_2\) de \(V\).
  \item Mostrar que la ley de \(V\) es una medida producto.
  \setcounter{saveenum}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
Ahora se considera el conjunto \(\mathcal{C}_2\) siguiente y sea \(W\) el vector aleatorio de distribución uniforme sobre \(\mathcal{C}_2\).
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics{Circulo.png}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{\value{saveenum}}
  \item Dar, sin justificación, la densidad de \(W\).
  \item Calcular la densidad de la marginal \(W_1\).
  \item Se considera la función \(\phi : (x,y)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2},\theta(x,y))\) donde \(\theta (x,y)\) es el angulo en \((-\pi,\pi]\) que el vector \((x,y)\) hace con el eje O\(x\). Se considera el nuevo vector \(Z=\phi(W)\). Calcular la densidad de las marginales \(Z_1\) y \(Z_2\). (Ayuda: Usar la formula de cambio de variables en dimensión 2)
  \item Mostrar que las variables \(Z_1\) y \(Z_2\) son independientes.
\end{enumerate}
\end{document}
