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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\fancyhead[L]{{\footnotesize  Estad\'istica matem\'atica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2021}}


%Command specific to the paper
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\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}^*} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\funk}[5]{
\begin{displaymath}
#1:
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\end{displaymath}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$4}
\end{center}
Una variable $X$ tiene la distribución de Pareto de parámetros $\alpha$, $\theta$ si su función de densidad es
\begin{equation*}
  f_{\alpha,\theta}(x)=kx^{-\alpha}\1{x\ge \theta}
\end{equation*}
donde $\theta >0$ y $\alpha >1$.
\begin{enumerate}
  \item Calcular la constante de normalización $k$.
  \item Calcular la función de distribución $F_{\alpha,\theta}^X$ de $X$.
  \item Supongamos $\theta$ conocido y $\alpha$ desconocido. Proponer un estimador por $\alpha$ con el método del máximo de verosimilitud.
  \item Que distribución tienen las variables \(\log(X_i/\theta)\)? Usando el metodo delta, estudiar la normalidad asintótica del estimador propuesto en la pregunta 3.
  \item Supongamos $\alpha$ conocido y $\theta$ desconocido.  Proponer un estimador por $\theta$ con el método del máximo de verosimilitud.
  \item Realizar una función R que simula 50 variables de Pareto con $\theta=1$ y $\alpha=2.5$.
  \item Con la función de la pregunta 6 (posiblemente usada algunas veces), justificar empíricamente que el estimador definido en 3 tiene un sesgo. Comparar lo con la cantidad $\frac{(\alpha-1)}{49}$.
\end{enumerate}
\end{document}
