\documentclass[11pt,french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{babel}
\usepackage[tbtags]{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{bbm} %package for the indicator
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[svgnames]{xcolor}

\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

\setlength{\paperwidth}{21cm} \setlength{\paperheight}{32cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0cm} \setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}
\setlength{\topmargin}{-2cm} \setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm} \setlength{\textheight}{26.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.5cm}
\setlength{\topskip}{0.cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{{\footnotesize  Estad\'istica matem\'atica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2022}}


%Command specific to the paper
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\funk}[5]{
\begin{displaymath}
#1:
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\end{displaymath}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$1}
\end{center}
Sea \(([0,1],\mathcal{B},\text{Leb})\) el espacio de probabilidad sobre el intervalo \([0,1]\). La notación \(\mathcal{B}\) designa el conjunto de los borelianos de \([0,1]\) y \(\text{Leb}\) denota la medida de Lebesgue. Sea \(X\) la función entre los espacios \(([0,1],\mathcal{B},\text{Leb})\) y \((\R,\mathcal{B},P_X)\) definida por
\begin{equation}\label{eq:defX}
  u \mapsto X(u)=-\theta \log(1-u)
\end{equation}
donde \(\theta>0\) es un parámetro.
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
    \item \textquestiondown Cuál es el soporte de la variable aleatoria \(X\)?
    \item Mostrar que \(\forall a,b \in \R_+\) tal que \(a<b\), se tiene que \(P_X([a,b])=e^{-\frac{a}{\theta}}-e^{-\frac{b}{\theta}}\).
    \item Mostrar que \(X\) tiene una densidad \(f_X\) que se calculara.
    \item Calcular \(\esp{X}\) y \(\var{X}\).
  \end{enumerate}
\item Sea \(Y=\lceil X\rceil\) donde el valor entero superior \(\lceil x\rceil\) de \(x\) se define como \(\lceil x\rceil=\min \{t\in \N: x \le t\}\).
\begin{enumerate}
  \item Mostrar que el soporte de \(Y\) es \(\N\) y dar \(P_Y\).
  \item Reconocer la distribución de \(Y\) y explicitar su parámetro.
  \item Calcular su función de distribución, \(F_Y\).
  \item \textquestiondown Cuál es la mediana de \(Y\)? Discutir de su unicidad.
  \item Calcular la función cuantiles de \(Y\) y comparar con la definición \eqref{eq:defX}.
\end{enumerate}
\item Sea \(\lambda>0\), \(p=1-e^{-\frac{1}{\theta}}\) y sea \(Z_p=\frac{p}{\lambda}Y\). Mostrar que \(\prob{Z_p\le t}\) tiene un limite cuando \(p\to 0\) para cada \(t\in \R\). Esta función de distribución es conocida. Indica su nombre.
\item La distrbución geometrica truncada de parámetros \(p,n\) esta dada por
\begin{align*}
  \prob{W=k}&=q^{k-1}p\quad \forall k=1,\dots,n\\
  \prob{W=0}&=q^n
\end{align*}
donde \(q=1-p\). Mostrar que eso define bien una distribución de probabilidad y calcular \(\esp{W}\).
\end{enumerate}

\end{document}
