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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\fancyhead[L]{{\footnotesize  Estad\'istica matem\'atica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2021}}


%Command specific to the paper
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\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator

\newcounter{saveenum}
\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$2}
\end{center}
\paragraph{Ejercicio 1}

Un vector aleatorio $X$ a valores en $\R^d$ se llama {\it gaussiano} si cada combinación lineal de sus componentes sea de ley gaussiana. Denotamos $^T$ la transpuesta de matrices. Si $X=(X_1,\dots,X_d)^T$ es un vector gaussiano, se define :
$$ m=(\esp{X_1},\dots,\esp{X_d})^T$$
$$ \Sigma=\esp{(X-\esp{X})(X-\esp{X})^T} $$
Definimos la función caracteristica $\phi_X$ de \(X\) por $\phi_X(t)=\esp{e^{it^TX}}$.
\begin{enumerate}
\item Mostrar que $\phi_X(t) = \exp(it^Tm-\frac{t^T\Sigma t}{2})$.
\end{enumerate}
Entonces la ley de un vector gaussiano $X$ es completamente determinado por $m$ y $\Sigma$. Denotamos $\mathcal{N}(m,\Sigma)$ esta ley.
\begin{enumerate}[resume]
\item Justificar esa frase.
\item Sea $X \sim \mathcal{N}(m,\Sigma)$, $A$ una matriz $d'\times d$ y $b$ un vector de $\R^{d'}$. Mostrar que $AX+b\sim \mathcal{N}(Am+b,A\Sigma A^T)$
\item Sean $i,j \in \{1,\dots,d\}$ con $i\neq j$, mostrar la equivalencia :
$$X_i \text{ y } X_j \text{ son independientes } \Longleftrightarrow \text{Cov}(X_i,X_j)=0$$
Como reconocemos que los componentes de \(X\) son independientes en la matriz \(\Sigma\)?
\end{enumerate}
Sea $E$ un sub espacio lineal de $\R^d$. Denotamos $\Pi_E$ la proyección orthogonal sobre $E$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Sea $X\sim \mathcal{N}(m,I_d)$ y una descomposición $\R^d=E_1 \oplus \dots \oplus E_r$ ensub espacios orthogonales. Mostrar que los vectores gaussianos $\Pi_{E_1}X,\dots,\Pi_{E_r}X$ son independientes.
\end{enumerate}

\paragraph{Ejercicio 2}
Para una variable \(X\) tal que su función generatriz de momentos es finita, definimos \(K_X(t)= \log M_X(t)\) y su desarollo en serie de Taylor
\begin{equation*}
  K_X(t)=\sum_{n=1}^{\infty}k_n(X)\frac{t^n}{n!}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
  \item Mostrar que si \(X\) y \(Y\) son dos variables independientes, entonces \(k_n(X+Y)=k_n(X)+k_n(Y)\).
  \item Expresar \(k_1(X)\),\(k_2(X)\) y \(k_3(X)\) en función de los momentos de orden 1,2 y 3 de \(X\).
\end{enumerate}


\paragraph{Ejercicio 3}
Sean \(Z_1,Z_2,\dots\) variables i.i.d. de densidad \(f\). Supongamos que \(\prob{Z_i>0}=1\) y que \(\underset{x\to 0}{\lim} f(x)=\lambda>0\).
Sea
\begin{equation*}
  X_n=n\min \{Z_1,\dots,Z_n\}.
\end{equation*}
Mostrar que \(X_n \overset{(d)}{\rightarrow} X\) donde \(X\) tiene una distribución exponencial de parámetro que calcularemos.
\end{document}
