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\usepackage{bbm} %package for the indicator
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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{{\footnotesize  Estad\'istica matem\'atica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Maestr\'ia 2022}}


%Command specific to the paper
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}^*} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\funk}[5]{
\begin{displaymath}
#1:
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\end{displaymath}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$5}
\end{center}

En esta tarea, consideramos las notaciones siguientes.
\begin{itemize}
  \item La muestra es una sucesión de variables \((X_1,Y_1),\dots,(X_n,Y_n)\) donde
  \(X_i\in\R_n\) y \(Y_i\in\{0,1\}\)
  \item Un clasificador es una función \(g:\R^d\to\R\).
  \item El calsificador óptimo se denota \(g^*\).
  \item Denotamos \(L^*_X\) (o simplemente \(L^*\)) el error de Bayes: \(L^*=\inf_{g}\prob{g(X)=Y}\).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
  \item Sea \(\phi: \R^d\to \R^k\) con \(k\ge 0\), una función medible. Denotamos \(L^*_{X}\) el error de Bayes para \((X,Y)\) y \(L^*_{\phi(X)}\) el error de Bayes para \((\phi(X),Y)\). Mostrar que
  \begin{equation*}
    L^*_{\phi(X)} \ge L^*_{X}
  \end{equation*}
  \item Sea \(X'\in \R^k\) independiente de \((X,Y)\). Mostar que \(L^*_{(X,X')}=L^*_{X}\).
  \item Decidimos permitir una tercera posibilidad para las funciones de decisión. El espacio de las posibilidades será entonces \(\{0,1,\text{"indeciso"}\}\). Se mide la utilidad de una tal función a través de \(\prob{g(X)=\text{"indeciso"}}\) y \(\prob{g(X)\neq Y|g(X)\neq \text{"indeciso"}}\). Para una \(0<c<1/2\), definimos
  \begin{equation*}
    g_c(x)=\left\{\begin{array}{ll}
      1& \text{si }\eta(x)>1/2+c\\
      0& \text{si }\eta(x)<1/2-c\\
      ``indeciso'' & \text{si no}
    \end{array}\right.
  \end{equation*}
  Demuestra que para cada función de decisión tal que
  \begin{equation*}
    \prob{g(X)=\text{"indeciso"}}\le \prob{g_c(X)=\text{"indeciso"}}
  \end{equation*}
  entonces
  \begin{equation*}
    \prob{g(X)\neq Y|g(X)\neq \text{"indeciso"}} \ge \prob{g_c(X)\neq Y|g_c(X)\neq \text{"indeciso"}}.
  \end{equation*}
  Interpretar el resultado.
\end{enumerate}
\end{document}
