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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\fancyhf{}
\fancyhead[L]{{\footnotesize  Teor\'ia asint\'otica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Doctorado/Maestr\'ia 2017/2018}}


%Command specific to the paper
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}^*} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\M}{\mathcal{M}_1}
\newcommand{\m}{\textbf{m}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$1}
\end{center}
El objectivo de esta tarea es investigar condiciones sobre distribuciones para que \'estas sean definidas en forma \'unica por sus momentos. Dada una medida $\mu$, definimos para cada $p\in \N$, el momento de orden $p$ como
\begin{equation*}
\mu_p = \int x^p d\mu.
\end{equation*}
Denotamos como $\M(\R)$ al conjunto de medidas de probabilidad sobre $\R$ que tienen momentos finitos de cualquier orden y $\M(\R_+)$ las medidas de probabilidad sobre $\R_+$ que tienen momentos finitos de cualquier orden.
Dada una sucesi\'{o}n real $\m=(m_p)_{p\in \N}$, sean
\begin{equation*}
K(\m)=\{\mu \in \M(\R) : \forall p\in \N, \mu_p=m_p\} \qquad \text{(Problema de Hamburger)}
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
K^+(\m)=\{\mu \in \M(\R_+) : \forall p\in \N, \mu_p=m_p\}\qquad \text{(Problema de Stieljes)}
\end{equation*}
las soluciones de los problemas de momentos de Hamburger y de Stieljes. Decimos que una variable aleatoria $X$ con sucesi\'on de momentos $\m$ es \textit{\'unicamente definida por sus momentos (UDM)} si $K(\m)$ tiene un \'{u}nico elemento.
\paragraph{P.1} Mostrar que una variable aleatoria $X$ tal que $\esp{X}=0$, $\esp{X^2}=1$ y $\esp{X^4}=1$ es igual (en distribuci\'on) a una variable de Rademacher (que vale 1 con probabilidad $\frac{1}{2}$ y $-1$ con probabilidad $\frac{1}{2}$). Dar un ejemplo de secuencia $\m$ tal que $K(\m)=\emptyset$.\\

En el siguiente, suponemos que $\m$ es tal que $K(\m)\neq \emptyset$.
\paragraph{P.2} Sea $X$ una variable aleatoria de medida $\mu \in \M(\R)$ de soporte finito y sea $\m$ la sucesi\'on de los momentos $\mu_p$ de $\mu$. Mostrar que $X$ es UDM. \textit{Pista : Para mostrar que $\sum z_ix_i^p=0$ implica $\forall i, z_i=0$ considere una formulaci\'on matricial y use el determinante de Vandermonde.}\\
Mostrar que, efectivamente, $X$ es UDM $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_{2n}$ donde $n$ es el numero de \'atomos de $\mu$.
\paragraph{P.3} Suponemos que $\mu$ es de soporte compacto. Usar el teorema de Portmanteau para probar que $X$ es UDM.
\paragraph{P.4} Una variable beta $(\alpha,\beta)$ es una variable aleatoria de densidad sobre $[0,1]$ igual a
\begin{equation*}
f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}.
\end{equation*}
Calcular los momentos de una variable beta $(\alpha,\beta)$. ¿Qu\'e podemos decir de una sucesi\'on $(X_n)_n$ de variables aleatorias tal que para cada $p\in \N$ tenemos
\begin{equation*}
\esp{X_n^p} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \prod_{i=0}^{p-1} \frac{\alpha+i}{\alpha+\beta+i}?
\end{equation*}\\

Recordamos el siguiente teorema :
\paragraph{Teorema}
Una funci\'on holomorfa en un abierto $U$ que vale 0 sobre un conjunto que tiene un punto de acumulaci\'on de $U$ es nula sobre todo $U$. \textit{Los interesados pueden encontrar el teorema y su prueba en el libro: Real and Complex analysis, 1987, W. Rudin}\\

\paragraph{P.5.a} Mostrar que para cada $w>0$ y cada $z\in \C$ tal que $\Re(z)>0$ (parte real es positiva),
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty} t^{w-1}e^{-zt}dt=\frac{1}{z^w}\Gamma(w).
\end{equation*}

\paragraph{P.5.b} Sea $g:\R\mapsto \R$,
\begin{equation*}
g(x)=\frac{2}{3\sqrt{\pi}}|x|^{-2/3}\exp(-|x|^{2/3})\cos\left(\frac{\pi}{3}+\sqrt{3}|x|^{2/3}\right).
\end{equation*}
Mostrar que para cada $p\in \mathbb{N}$,
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}x^pg(x)dx =0.
\end{equation*}

\paragraph{P.5.c}
Sea $f:\R\mapsto\R$ la funci\'on de densidad
\begin{equation*}
f(x)=\frac{1}{3\sqrt{\pi}}|x|^{-2/3}\exp(-|x|^{2/3}).
\end{equation*}
Mostrar que para $\rho \in [0,1/2]$, $f+\rho g$ es una funci\'on de densidad y que para cada $p\in \mathbb{N}$,
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}x^pf(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}x^p(f+\rho g)(x)dx
\end{equation*}
Deducir que $X$, cuya densidad es $f$, no es UDM.

\paragraph{P.5.d}
Sea $\m$ tal que si $p$ es par $m_p=0$ y si $p$ es impar $m_p=(3p-1)(3p-3)\dots 1$. ?`Qu\'e podemos decir de $K(\m)$?

\paragraph{P.6.a}
Mostrar que $K(\m)$ es un conjunto convexo.
\paragraph{P.6.b}
Mostrar que $K(\m)$ es un conjunto compacto.

\paragraph{P.7}
Mostrar lo siguiente:\\ \\
\vspace{0.3cm}
\textbf{Proposici\'on}\hspace{0.2cm} Sea $X$ una variable aleatoria sobre $\R$ de medida de probabilidad $\mu \in \M(\R)$. Suponemos que la serie de Laplace
\begin{equation*}
\sum_{p\ge 1} \frac{\mu_p}{p!}z^p
\end{equation*}
es de radio de convergencia no nulo, entonces $X$ es UDM.

\paragraph{P.8.a}
Calcular el radio de convergencia de la serie de Laplace para $X$ una variable $\mathcal{N}(0,1)$. Deducir que $X$ es UDM.

\paragraph{P.8.b}
Calcular los momentos de $Y=\exp(N)$, donde $N\sim \mathcal{N}(0,1)$. ¿Qu\'e el radio de convergencia de la serie de Laplace?\\

Admitimos el teorema siguiente:\\ \\
\vspace{0.3cm}
\textbf{Teorema}\hspace{0.2cm} Sea $X$ una variable de densidad $f$ positiva sobre $\R_+$. Si
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty}\frac{-\log f(t)}{1+t^2}dt <+\infty,
\end{equation*}
entonces $X$ no es UDM.

\paragraph{P.9.a}
Mostrar que la variable aleatoria $Y$ definida en \textbf{P.8.b} no es UDM.

\paragraph{P.9.b}
Sea $Z=W^3$ donde $W$ es una variable aleatoria exponencial de parametro 1. Mostrar que $Z$ no es UDM.
\end{document}
