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\newtheorem{q}{Q}
\newtheorem{rem}{Remark}

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\fancyhf{}
\fancyhead[L]{{\footnotesize  Teor\'ia asint\'otica}}
\fancyhead[R]{{\footnotesize Doctorado/Maestr\'ia 2020}}


%Command specific to the paper
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} % The expected value
\newcommand{\var}[1]{\text{Var}\left(#1\right)} % The variance
\newcommand{\prob}[1]{\mathbb{P}\left(#1\right)} % The probability
\newcommand{\probi}[2]{\mathbb{P}_{#1}\left(#2\right)} % The probability with ind
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %The R set
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %The set of complexes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}^*} %The integers
\newcommand{\ex}{\noindent \underline{Ex :} }
\newcommand{\1}[1]{\mathbbm{1}_{#1}} %The indicator
\newcommand{\M}{\mathcal{M}_1}
\newcommand{\m}{\textbf{m}}

\date{}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge{Tarea n$^{\circ}$1}
\end{center}
Esa tarea está dividida en problemas independientes. Fecha limite de entrega : \textbf{09/03/2020}

\paragraph{Problema 1 (Alrededor de funciones caracteristicas)}
Sea \(Z\) una variable uniforme sobre $[-1,1]$.
\begin{enumerate}
\item Calcular la función caracteristica de $Z$.
\item Mostrar que no se puede encontrar variables i.i.d. $X,Y$ tal que $X-Y\sim Z$.
\end{enumerate}
Sea \(f:t\mapsto ae^{b(|t|+c)^2}\).
\begin{enumerate}
  \item[3.] Mostrar que \(f\) es una función caracteristica por ciertas constantes \(a,b,c\). Describir la distribución corespondiente.
  \item[4.] Mostrar que \(t\mapsto e^{-|t|^\alpha}\) por \(\alpha>2\) no puede ser una función carateristica.
\end{enumerate}

\paragraph{Problema 2 (Condiciones de Lindeberg-Feller)}
Sean \(X_i\sim U[-a_i,a_i]\) variables uniformes independientes con \(\forall i, a_i<a<\infty\).
\begin{enumerate}
  \item Mostrar que las condiciones de Lindeberg-Feller se cumplen por la sucesión \((X_i)_i\) si y solo si \(\sum_{i}a_i^2=\infty\)
\end{enumerate}
Sean \(X_i\sim \text{Exp}(\lambda_i)\) y supongamos que \((\max_{1\le i\le n} \lambda_i^2)/\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \to 0\).
\begin{enumerate}
  \item[2.] Mostrar que bajo la buena standardización (de media y varianza), la suma \(\sum_{i}X_i\) converge a \(\mathcal{N}(0,1)\).
\end{enumerate}

\paragraph{Problema 3 (Aplicación de Slutsky)}
\begin{enumerate}
  \item Sean \(X_n\) y \(Y_m\) variables aleatorias independientes de Poisson de parámetros \(n\) y \(m\). Que distribución limite tiene \(\frac{X_n-Y_m-(n-m)}{\sqrt{X_n+Y_m}}\) cuando \(n,m\to \infty\)?
\end{enumerate}

\paragraph{Problema 4 (Uniforme integrabilidad)}
Supongamos dadas unas variables reales positivas \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. Denotamos \(X_{(1)},\dots,X_{(n)}\) las estadísticas de orden.
\begin{enumerate}
  \item Mostrar que si \(\esp{X_1^k}<\infty\), se cumple
  \begin{equation*}
    \esp{X_{(r)}^k}\le \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\esp{X_1^k}.
  \end{equation*}
  \item Mostrar que si \(\esp{X_1^2}<\infty\), la sucesión \((n^{-1}X_{(n)})_n\) es uniformemente integrable.
\end{enumerate}
Sea \((X_n)_n\) una sucesión de variables reales. Sea \(f:\R_+ \to \R_+\) una función no decreciente tal que \(\frac{f(x)}{x} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} +\infty \). Supongamos que \(\esp{\sup_nf(|X_n|)}<\infty\).
\begin{enumerate}
  \item[3.] Mostrar que \((X_n)_n\) es una sucesión uniformemente integrable.
\end{enumerate}
\end{document}
